コンピュータ基礎の基礎～浮動小数点の扱いとIEEE754
- 2010/08/02 20:17
- カテゴリー：備忘録
コンピュータ基礎の基礎，今回は浮動小数点演算です。
一般に，我々がコンピュータを扱うときには，整数で表現が可能な演算が中心です。しかし，コンピュータが計算機である以上，小数点を扱う演算も日常的に起こります。
Z80のように乗除算さえ持たないCPUを搭載した昔のパソコンでも，浮動小数点演算が出来た事を考えると，整数しか扱えないCPUも，プログラム次第で浮動小数点が扱えることになりますが，このように2進数で浮動小数点演算を行う場合には，その扱い方，つまりフォーマットが非常に重要です。
かつては，この各社でバラバラだったフォーマットも，IEEE754という国際標準によって統一されており，データフォーマットの違いによるデータ互換のなさなど，不便な点が解消されてきました。
まず，最初に，2進数で小数点の付いた数をどうやって表現するかです。
思い出して欲しいのは，2進数というのは2になると桁が上がる数でした。一桁増えるごとに2倍になるのが2進数です。これはいいですね。
10進法では，桁が増えるごとに10倍になるわけですが，では小数点から以下の桁はどうだったかというと，小数第一位が1/10，小数第二位が1/100と，桁が小さくなるごとに1/10ごとになっていきます。
2進数でも同じ事で，小数第一位は1/2で0.5，小数第二位は1/4で0.25となっていきます。小数点以下が01なら0.25，10なら0.5，11なら0.75となるわけですね。
では具体的に，小数点の付いた数を2進数で表現してみましょう。14.75を2進数で表現すると，まず小数点から上である14は1110です。次に小数点以下ですが，0.75から0.5を引き算すると0.25ですので，小数第一位と小数第二位の両方のビットが立ちます。
よって，14.75は，2進数では1110.11となります。簡単ですね。
浮動小数点というのは，小数点が動く表現方法です。先程の14.75は，1.475x10の-1乗，というわけですが，このうち1.475を仮数，10を基数，そして-1を指数といいます。これも基本ですね。
問題はここから先です。この1110.11という0と1の列びを，どうやってメモリに格納するのかです。例えば小数点から上の1110の部分を何ビットで格納すればいいでしょうか。8ビット？10ビット？各社でバラバラだと，そのデータに互換性が出てこないのも頷けます。
そこで1985年に制定された標準形式がIEEE754です。もう少し見ていきましょう。IEEE754のフォーマットは，以下のようになっています。
(1)基数は2で，基数はデータに含めない。
基数というのは何の2乗とか3乗かを示す数字でした。IEEE754は2進数を扱うフォーマットですから，基数は2です。わかりきったことなのでいちいちこれをフォーマットには入れません，と言う意味です。
(2)仮数は1以上，2未満に揃える。これを正規化という。
先程の14.75も，浮動小数点で表現すると1.475x10の-1乗となりました。このことで仮数部は10未満になります。IEEE754でも同じ事で，仮数部を1以上未満で扱う事にします。
(3)0の表現は，指数と仮数の全ビットをゼロにする。
仮数部を0にすれば絶対にゼロなのですが，IEEE754では仮数部が0で指数部が最大になっているものを∞の表現に割り当てます。ゆえに全ビットゼロとしなければなりません。
(4)仮数も指数も2進数で表現する。
これもまああたり前の話です。14は1110ですし，0.75は0.11です。
(5)MSBが符号ビットで，0が正，1が負を示す。
当然正の数も負の数も扱いますので，符号ビットを考えておかねばなりません。MSB，つまり最上位のビットに符号の役割を与えます。
(6)単精度は32ビットで，符号1ビット，指数部8ビット，仮数部23ビットである。0から22ビットまでが仮数部，23から30ビットが指数部，31ビットが符号ビットである。
IEEE754には単精度と倍精度の2つがありますが，このうち単精度は指数部を8ビット，仮数部を23ビットとしてあります。
(7)単精度の場合は，指数部は実際の指数に127を足し，仮数部は整数部分の1を省略する。
正規化してあるので，仮数部は必ず1以上2未満になりますから，整数部分の1をわざわざ記述する必要がありません。また，指数部に足される127という数値をバイアス値と言います。バイアスを加えるのは，指数部が負の数を取ることがあるからです。
(8)倍精度は64ビットで，符号1ビット，指数部11ビット，仮数部が52ビットである。0から51ビットが仮数部，52から62ビットが指数部，63ビットが符号ビットである。
(9)倍精度の場合，指数部は実際の指数に1023を足し，仮数部は整数部分の1を省略する。
ルールとしてはこんな感じです。
では，2.5を単精度で表現してみましょう。
まず，2.5を2進数で書きます。2は2進数で10，0.5は2進数で0.1ですから，10.1となります。
これを正規化します。10.1x2^0ですから，これをシフトし，1.01x2^1とします。ここで，仮数部が1.01，指数部が1，そして基数が2となります。
仮数部は整数部分を省略しますから，01となります。なお，基数2も省略します。また符号ビットは正ですので0です。
仮数部は1になりますが，これにバイアス値である0x7fを足し，0x80とします。
これらから，以下のようになります。
0 10000000 01000000000000000000000
それでは次に0.1を倍精度で表現してみましょう。
実はこの0.1をに2進数で正確に表現するのが不可能なのです。
0.1ですから，0.5よりも，0.25よりも，0.125よりも小さいです。この段階で0.000まで確定です。
0.1-2^(-1)=-0.4 0.0
0.1-2^(-2)=-0.15 0.00
0.1-2^(-3)=-0.025 0.000
さらにもうヒトケタ小さくしますと，0.0625です。ここでようやく1になり，0.0001です。しかし余りが0.0375でます。
0.1-2^(-4)=0.0375 0.0001
余りである0.0375を使って以後計算します。
0.0375-2^(-5)=0.00625 0.00011
0.00625-2^(-6)=-0.009375 0.000110
0.00625-2^(-7)=-0.0015625 0.0001100
0.00625-2^(-8)=-0.00234375 0.00011001
0.00234375-2^(-9)=0.000390625 0.000110011
0.000390625-2^(-10)=-0.0005859375 0.0001100110
0.000390625-2^(-11)=-0.00009765625 0.00011001100
0.000390625-2^(-12)=0.000146484375 0.000110011001
というわけで，ちゃんと証明したわけではありませんが，どうやら00110011・・・手な具合に循環していそうです。これでは永遠に割り切れることはないでしょう。つまり，0.1は2進数でちゃんと表現出来ないということになるのです。
それはそれとして，先に進みましょう。0.0001100110011・・・を正規化します。1.100110011・・・x2^-4となります。よって仮数部は1.100110011・・・，指数部は-4です。
指数部は倍精度の時には0x3ffをバイアスとして足します。すると指数部は0x3fbです。そう，指数部が負の数を取ることがあるから，バイアスを足すのでしたね。
よって，64ビットで表現される倍精度フォーマットでは，以下のようになります。
0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011001・・・
一見するとこれいいように思いますが，実は循環する数字がそのままカットされているので，決まった範囲に数値が収まるように，丸めを行います。言ってみれば，3.14159・・・とせず，3.14と小数第2位までで表現するのと同じ事です。
IEEE754では，4つの丸めが定義されています。
・最近接偶数丸め（RN）
最も近くの表現できる値へ丸めます。基本的には0捨1入としますが，ちょうど中間の場合には，偶数になるよう，つまり仮数部の一番低位の数字が0になるようにします。誤差の蓄積もなく，もっともおすすめの方法です。
・0方向丸め（RZ）
常に0に近い方に丸めます。いわゆる切り捨てです。
・+∞への丸め（RP）
正の無限大に近い方に丸めます。
・-∞への丸め（RM）
負の無限大に近い方に丸めます。
さて，先程の数字ですが，標準では最近接偶数丸めを使います。入りきらなかった最初の数字は1ですので，これは0に丸めます。つまり，110011は，1000000に丸めます。よって，0.1は倍精度では，
0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010
となります。
この丸めによって，実は，10進数で0.0000000000000000055511151231257827021181583404541015625もの誤差を含んでいることになるわけですが，これがデジタルコンピュータの本質的な問題であるという事です。
